Тематический план
- Общее
- Лекции 1. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных.
Лекции 1. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных.
В данной лекции подробно описаны понятие о характеристиках уравнений в частных производных, классификация уравнений в частных производных, канонические формы, а также приведены примеры.
- Лекции 2. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Задача Коши. Теорема Ковалевской.
Лекции 2. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Задача Коши. Теорема Ковалевской.
В данной лекции подробно описаны три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:
а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством граничные условия отсутствуют.
б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия,
- Лекции 3. Корректность постановок задач математической физики.
Лекции 3. Корректность постановок задач математической физики.
В данной лекции подробно описаны понятие о корректности постановок задач математической физики, а также приведены пример Адамара.
- Лекции 4. Метод распространяющихся волн.
Лекции 4. Метод распространяющихся волн.
В данной лекции подробно изучены методы построения решений краевых задач для уравнений колебаний струны с начальными условиями, а также приведены устойчивость решений и краевые задачи для ограниченного отрезка.
- Тема 5
Тема 5
Рассматривается задача Коши для волнового уравнения. Формула Кирхгофа. Принцип Гюйгенса. Цилиндрические волны. формула Пуассона. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Доказана единственность решения задачи Коши для волнового уравнения. Неоднородное волновое уравнение. Запаздывающий потенциал. Точечный источник.
- Тема 6
Тема 6
Здесь даётся классическое решение. Интеграл энергии. Закон сохранения энергии. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Метод интеграла энергии для доказательства единственности и непрерывной зависимости классического решения смешанной задачи.
- Тема 7
Тема 7
Здесь описаны классические решение. Принцип максимума. Принцип минимума. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Решение смешанной задачи методом разделения переменных (Метод Фурье). Обоснование метода Фурье.
- Тема 8
Тема 8
Здесь описаны классические решение. Вывод формулы Пуассона. Теорема единственности решения задачи Коши. Теорема А.Н. Тихонова. Обоснование формулы Пуассона. Бесконечная скорость теплопередачи.
- Тема 9
Тема 9
Установлено некоторые вспомогательные формулы, нужные для представления решений краевых задач в интегральной форме. Рассматриваемые задачи Коши для общего уравнений гиперболического типа определена сопряжённые дифференциальные операторы и сопряжённые задачи. Для поставленной этой задачи найдена интегральная форма решения. Методом функции Римана построена решений.
- Тема 10
Тема 10
Здесь даётся постановка задачи на собственные значения. Формулы Грина. Свойства собственных значений и собственных функций оператора. Единственность решения неоднородной краевой задачи.
- Тема 11
Тема 11
Рассматривается функция Грина. Сведение задачи Штурма – Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций. Установлена эквивалентность задачи Штурма–Лиувилля, а также нахождение собственных значений и собственных функций и метод факторизации.
- Тема 12
Тема 12
Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа и, в частности, с теорией потенциала. Рассматривается полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций. Здесь даётся основные свойства гармонических полиномов и сферических функций. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.
- Тема 13
Тема 13
В данной лекции описаны Задача Коши для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными с начальными данными на линии параболичности. Приведены основные определение, понятие и теорема Проттера о существования и единственности Задача Коши. Методом Римана найдена формула Дарбу.
- Тема 14
Тема 14
В данной лекции описаны Задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений первого рода. Приведены основные определение, понятие обобщённого решения и методом Римана найдена формула Дарбу.
- Тема 15
Тема 15
В данной лекции описаны Задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений второго рода. Приведены основные определение, понятие обобщённого решения и методом Римана найдена формула Дарбу.
- Тема 16
Тема 16
В данной лекции описаны Задача Коши–Гурса для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными. Приведены постановка задачи, функция Римана – Адамара и найдена формула для решения задачи Коши–Гурса.
- Тема 17
Тема 17
- Тема 18
Тема 18
- Тема 19
Тема 19
- Тема 20
Тема 20